مسائل رياضية مع الحلول

مسائل رياضية للعباقرة مع الحل

الرياضيات ليست مجرد علم يُدرَّس في المدارس والجامعات، بل هي لغة العقل والمنطق، وأداة لفهم العالم المحيط بنا وتحليل الظواهر فيه بدقة متناهية. ومن بين فروع الرياضيات وتطبيقاتها، هناك نوع خاص من المسائل يُثير شغف النخبة من العقول التحليلية، ويُعرف بمسائل “العباقرة”. هذه المسائل تتطلب تفكيرًا غير تقليدي، وقدرة على التحليل والتجريد، وأحيانًا لمسة من الإبداع الرياضي. في هذا المقال الموسَّع، سنستعرض مجموعة من أروع المسائل الرياضية التي لطالما شكلت تحديًا للعقول النابهة، مع تقديم حلولها المفصّلة بأسلوب علمي يساعد على فهم المنهجية، وليس فقط الوصول إلى الجواب.

المسألة الأولى: لغز الثلاثة أرقام

المسألة:

اختر ثلاثة أرقام صحيحة، بحيث يكون مجموعها 30. لكن يوجد شرط: يجب أن يكون أحد هذه الأرقام أكبر من الرقمين الآخرين بمقدار 10.

الحل:

لنفرض أن الرقمين الأصغر هما:

x و y

والرقم الأكبر هو:

x + 10 أو y + 10

إذا افترضنا أن الرقم الأكبر هو x + 10، فإن مجموع الأرقام يكون:

x + y + (x + 10) = 30

⇨ 2x + y = 20 … (1)

الآن نبحث عن حلول صحيحة (x و y أعداد صحيحة) تحقق المعادلة السابقة.

نجرب بعض القيم:

إذا x = 5 → 2×5 = 10 → y = 10

إذًا الأرقام هي: 5، 10، 15

والمجموع = 30 ✔

و15 أكبر من 5 و10 بمقدار 10 ✔

الحل: الأرقام هي 5، 10، 15

المسألة الثانية: قطاران يقتربان

المسألة:

قطاران ينطلقان من مدينتين A و B في نفس الوقت، ويتجهان نحو بعضهما البعض على نفس السكة. سرعة القطار الأول 60 كم/ساعة، وسرعة القطار الثاني 90 كم/ساعة. المسافة بين المدينتين 450 كم. متى سيلتقي القطاران؟

الحل:

نجمع السرعتين:

60 + 90 = 150 كم/ساعة

نقسم المسافة على مجموع السرعتين:

450 ÷ 150 = 3 ساعات

الحل: سيلتقي القطاران بعد 3 ساعات من انطلاقهما.

المسألة الثالثة: لغز المئة دولار

المسألة:

رجل اشترى سلعة بـ97 دولارًا، فأعطى البائع 100 دولار، وأعاده البائع 3 دولارات. ثم أعطى الرجل دولارين لابنيه، واحتفظ بدولار لنفسه. الآن: الابنان حصلا على 2 دولار، والرجل احتفظ بـ1 دولار، والمجموع 3 دولارات. إذًا أين ذهبت الـ97 دولارًا؟

الحل:

هذا اللغز يعتمد على التلاعب اللفظي والذهني.

التكلفة الأصلية = 97 دولار

الرجل دفع = 100 دولار

استعاد = 3 دولارات

ففعليًا دفع = 97 دولار

إذا أعطى دولارين لأبنائه، واحتفظ بواحد، فإن هذه الـ3 دولارات ليست فوق الـ97، بل هي مستردة من البائع. الخطأ هو في جمع 97 + 2 + 1، بينما الصحيح هو:

القيمة التي دفعها: 97 = (1 دولار معه + 2 دولار أعطاها) + السعر الحقيقي.

الحل: لا يوجد مبلغ مفقود، إنما هو تلاعب منطقي في ترتيب الحساب.

المسألة الرابعة: مسألة الجواهر

المسألة:

لديك 9 جواهر، واحدة منها فقط مزيفة، وهي أخف وزنًا. لديك ميزان كفّتين وتستطيع استخدامه مرتين فقط. كيف تكتشف الجوهرة المزيفة؟

الحل:

قسّم الجواهر إلى ثلاث مجموعات، كل منها تحتوي على 3 جواهر.

• ضع 3 جواهر في كل كفة من الكفتين:

  • إذا توازنت الكفتان، فالجوهرة المزيفة في المجموعة التي لم تُوزن.

  • إذا لم تتوازنا، فإن الجوهرة المزيفة في الكفة الأخف.

الآن لدينا مجموعة من 3 جواهر نعرف أن المزيفة فيها.

• في المرة الثانية: نأخذ 2 من هذه الجواهر ونضع واحدة في كل كفة.

  • إذا توازنت، فالثالثة هي المزيفة.

  • إذا اختلت، فالأخف هي المزيفة.

الحل: باستخدام خطوتين فقط يمكن تحديد الجوهرة المزيفة.

المسألة الخامسة: المسجون والمصباح

المسألة:

100 سجين في سجن، ويوجد غرفة واحدة فيها مصباح يمكن تشغيله أو إطفاؤه. كل يوم يُختار سجين بشكل عشوائي ويُسمح له بدخول الغرفة. يمكنه تشغيل أو إطفاء المصباح. في أي وقت، يمكن لأي سجين أن يصرّح بأن جميع السجناء دخلوا الغرفة مرة واحدة على الأقل. إذا كان محقًا يُطلق سراحهم جميعًا، وإن أخطأ يُعدم الجميع. كيف يمكن للسجناء أن يتأكدوا من النجاح؟

الحل:

يعتمد الحل على وضع “عدّاد بشري”.

• يختار السجناء أحدهم ليكون العدّاد.

• كل سجين آخر يُسمح له بإطفاء المصباح مرة واحدة فقط إذا وجده مضاءً.

• العدّاد وحده من يشغل المصباح إذا وجده مطفأ، ويعد عدد المرات التي اضطر لتشغيله.

• عندما يصل العدد إلى 99 (لأن العدّاد لن يطفئ المصباح أبدًا)، يعلم أن كل سجين آخر قد دخل الغرفة على الأقل مرة (لأنه وجد المصباح مضاءً وأطفأه مرة واحدة).

الحل: العدّاد يعلن بعد أن يحصي 99 مرة تشغيل للمصباح.

المسألة السادسة: الرقم المفقود

المسألة:

في سلسلة الأرقام التالية:

1، 3، 6، 10، 15، ؟، 28

ما الرقم الناقص؟

الحل:

نلاحظ أن السلسلة عبارة عن أرقام مثلثية:

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

؟ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

التالي: 1 + … + 7 = 28

الحل: الرقم المفقود هو 21.

المسألة السابعة: لغز القراصنة

المسألة:

خمسة قراصنة عُرفوا بالذكاء والطمع، لديهم 100 قطعة ذهبية ليتقاسموها وفق القواعد التالية:

• الأقدم يطرح خطة للتوزيع.

• إذا وافق نصف القراصنة أو أكثر (بما فيهم هو)، تُقبل الخطة.

• وإلا يُقتل وتُطرح خطة من قبل التالي.
  
  كيف يجب أن يوزع الأكبر الذهب ليبقى على قيد الحياة ويأخذ أكبر حصة؟

الحل:

الحل يعتمد على التفكير من القراصنة من الأسفل:

• لو تبقى فقط القراصنان 4 و5، سيصوت 5 بـ”لا” ويحصل على كل الذهب.

• إذا تبقى 3، فإن رقم 3 يقدم خطة تعطي قطعة ذهبية لرقم 5 (لضمان صوته) ويأخذ 99 لنفسه.

• مع 4 قراصنة، رقم 4 يحتاج صوتين؛ يعطي قطعة لرقم 2 مثلًا ويحتفظ بالباقي.

• عندما يكون كلهم موجودين، القبطان (رقم 1) يحتاج 3 أصوات.

إذا أعطى قطعة ذهبية لرقمي 3 و5 (اللذَين لن يحصلوا على شيء إن رُفضت خطته)، يحتفظ بـ98.

الحل: الخطة:

رقم 1 يأخذ 98

رقم 3 يأخذ 1

رقم 5 يأخذ 1

جدول شامل لبعض المسائل الذهنية للعباقرة مع نوع التفكير المطلوب

خلاصة معرفية

ما يميز مسائل العباقرة أنها لا تعتمد فقط على المهارات الحسابية المجردة، بل تستدعي أيضًا استخدام مبادئ المنطق، ونظرية الألعاب، وتقدير السلوكيات العقلانية. في كثير من الأحيان، تكون هذه المسائل أقرب إلى الفلسفة الرياضية منها إلى التمارين التقليدية، وهي تمثل أداة فعالة لتطوير المهارات التحليلية والتفكير النقدي لدى الطلاب، الباحثين، وعشّاق الألغاز.

يمكن دمج هذا النوع من التحديات في المناهج التعليمية لرفع مستوى التفكير التجريدي لدى المتعلمين، كما يمكن استخدامها في مسابقات الذكاء الدولية والتقييمات المنطقية المتقدمة.

المراجع:

1. Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, Penguin Books.

2. Raymond Smullyan, What Is the Name of This Book?, Dover Publications.